Question

操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動（點P與點A不重合），直角的一邊始終經過點B，直角的另一邊與射線DC相交于點Q．
探究：設A、P兩點的距離為x，問當點P在線段AC上滑動時，△PCQ能否成為等腰三角形：    （用“能”或“不能”填空）．若能，直接寫出使△PCQ成為等腰三角形時相應的x的值；若不能，請簡要說明理由：    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，易證得四邊形PFCE是正方形，設AP=x，CQ=y，易求得當Q在DC上時，y=1-x，當點Q在邊DC的延長線上時，y=x-1，然后分別分析PC=CQ與PQ=QC時的情景，即可求得答案．
解答：解：能．
理由：
如圖，當Q在DC上時，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，
∵∠BCD=90°
∴四邊形PFCE是矩形，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四邊形PFCE是正方形．
∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=，
∵四邊形PFCE是正方形，
∴PC=-x，
∴CE=1-x，
∴BF=1-FC=1-（1-x）=x，
∴EQ=x，
∴y=CQ=（1-x）-x=1-x，
∴y=1-x（0≤x≤）；
同理：當點Q在邊DC的延長線上時，
∵PC=-x，利用勾股定理得出：EC=1-x，
EQ=BF=MP=x，
∴CQ=EQ-EC=x-1，
∴y=x-1（ ≤x≤）；
∴①當點P與點A重合，點Q與點D重合，這時PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此時x=0；
②當點Q在邊DC的延長線上，且CP=CQ時，△PCQ是等腰三角形（如圖），此時，QN=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x，
∴CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1，
當 -x=x-1時，得x=1．
∴當x=0或1時，△PCQ是等腰三角形．

點評：此題考查正方形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定與性質以及一次函數的應用等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率，注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．