Question

7．平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點（點B在點A左側），與y軸交于點C，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，3），對稱軸直線x=1交x軸于點E，點D為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一點，且S_△PAC=2S_△DAC，求點P的坐標；
（3）點M是第二象限內拋物線上一點，且∠MAC=∠ADE，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知中點A、C的坐標分別為（3，0），（0，3），對稱軸為直線x=1，得出B點坐標，進而利用交點式求出即可求出拋物線的解析式；
（2）由已知中C點坐標，再假設出P點坐標，可求出直線PC解析式，求出R點坐標，進而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，可得點P的坐標；
（3）過點C作CH⊥DE交DE于點H，設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，由∠MAC=∠ADE，可得N點坐標，進而求出AN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點坐標．

解答 解：（1）由對稱軸x=1，A（3，0），可得B點坐標（-1，0）
設y=a（x-3）（x+1），把C（0，3）代入得，3=-3a，
解得：a=-1，
所求解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）如圖：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點D（1，4），
由A（3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=-x+3；
設對稱軸交AC于點G，則G（1，2），
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$（4-2）×3=3，
設P點（m，-m²+2m+3），
設PC解析式為：y=qx+p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P=3}\\{mk+3=-{m}^{2}+2m+3}\end{array}\right.$，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式為：y=（-m+2）x+3，
設PC與x軸交于點R，
∴R（$\frac{3}{m-2}$，0），
∴AR=3-$\frac{3}{m-2}$，
∴S_△APR+S_△CAR=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{m-2}$）×（m²-2m-3）+$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{m-2}$）×3=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
則S_△PAC=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
由S_△PAC=2S_△DAC，
∴$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$=2×3，
解得：m₁=4，m₂=-1，把m₁=4，m₂=-1分別代入y=-x²+2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P點坐標為（4，-5）或（1，0）；              

（3）由以上可得出：D（1，4），C（0，3），E（1，0），
如備用圖：過點C作CH⊥DE交DE于點H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=$\frac{1}{3}$．
設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=$\frac{1}{3}$．
∵A（3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
設直線AN解析式為：y=dx+h
∴$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{3d+h=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{d=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AN解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
得：x=3（舍）或x=-$\frac{2}{3}$，
∴點M的坐標為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質，是二次函數(shù)與解析幾何知識的綜合應用，難度較大．