Question

11．如圖1，拋物線y=ax²-3ax+3交x軸分別于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿y軸平移交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)BD=2CD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若將拋物線沿直線x=m翻折，使翻折后的拋物線交直線BC于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，求m的值．

Answer 1

分析 （1）將A坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）設(shè)CD=a，BD=2a，OD=OC+CD=a+3，OB=4，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD²=OD²+OB²，
得到關(guān)于a的方程，解方程即可．
（3）設(shè)翻折后拋物線與x軸交點(diǎn)為E、F．根據(jù)E與B關(guān)于x=m對(duì)稱，A和F關(guān)于x=m對(duì)稱，求出E（2m-4，0），F(xiàn)（2m+1，0），可得翻折后的解析式，與BC解析式聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到4m-2=0，求出m的值．

解答 解：（1）將A（-1，0）代入拋物線解析式得：0=a+3a+3，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，
則拋物線解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）設(shè)CD=a，BD=2a，
∴OD=OC+CD=a+3，OB=4，
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD²=OD²+OB²
即4a²=（a+3）²+16，
解得：a=1+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$（負(fù)值舍去），
∴D（0，1+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）；
（3）如圖，設(shè)翻折后拋物線與x軸交點(diǎn)為E、F．
∵E與B關(guān)于x=m對(duì)稱，A和F關(guān)于x=m對(duì)稱，
∴E（2m-4，0），F(xiàn)（2m+1，0），
設(shè)翻折后的解析式為y=-$\frac{3}{4}$（x-2m+4）（x-2m-1）
=-$\frac{3}{4}$[x²-（4m-3）x+4m²-6m-4]
=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3
設(shè)BC解析式為y=kx+b，
將B（4，0）和C（0，4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ 4k+b=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ k=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
令y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3和y=-$\frac{3}{4}$x+3的值相等，得
-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
整理得x²-（4m-2）x+4m²-6m+8=0，
∵P、Q關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，
∴P、Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
則4m-2=0，
m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，難度較大．