Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=1，OC=2，點D在邊OC上且OD=1.25．

（1）求直線AC的解析式．

（2）在y軸上是否存在點P，直線PD與矩形對角線AC交于點M，使得△DMC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）拋物線y=﹣x2經過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點D和點E（點E在y軸正半軸上），且△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P點坐標為（0， ）或（0，﹣）或（0， ）或（0， ）； （3）拋物線y=﹣x2先向右單位，再向上平移單位，才能使得平移后的拋物線過點D和點E．

【解析】試題分析：（1）先確定點和點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）設討論：當時， 解方程求出，再求出的解析式，從而得到點坐標；當時，易得點的坐標，接著求出的解析式，從而得到點坐標；當CM=CD時, 解方程求出，再確定的解析式，從而得到點坐標；
（3）如圖2，作O′H⊥x軸于H,則 設O′(m,1)，利用勾股定理得的,解得當m=2時，求出長得到利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為然后利用拋物線的平移變換求解；當時，同樣可得拋物線解析式為再利用拋物線的平移變換求解．

試題解析：(1)∵OA=1,OC=2,

∴A(0,1),C(2,0)，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A(0,1),C(2,0)代入得解得

∴直線AC的解析式為

(2)存在.

設

當DM=DC時, 解得 (舍去),則,此時MD的解析式為 P點坐標為

當MD=MC時,則M點的坐標為此時MD的解析式為 P點坐標為

當CM=CD時, 解得

則或

此時MD的解析式為或 P點坐標為或

綜上所述,P點坐標為或或或;

(3)△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處,如圖2,作O′H⊥x軸于H,則

設O′(m,1)，

在中, , 解得

當m=2時,AO′=2,而EO′=EO=EA+1，

,解得

設平移的拋物線解析式為

把代入得解得

∴拋物線解析式為

∴拋物線先向左單位,再向上平移單位，才能使得平移后的拋物線過點D和點E；

當時, ,而EO′=EO=1AE，

解得

同樣可得拋物線解析式為

∴拋物線先向右單位,再向上平移單位，才能使得平移后的拋物線過點D和點E.