Question

8．如圖是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，已知AB=8，AD=7，E為AB上一點(diǎn)，AE=5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（△AEP），使點(diǎn)P落在長(zhǎng)方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長(zhǎng)是5$\sqrt{2}$或4$\sqrt{5}$或5．

Answer 1

分析 分情況討論：①當(dāng)AP=AE=5時(shí)，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE=$\sqrt{2}$AE=5$\sqrt{2}$即可；
②當(dāng)PE=AE=5時(shí)，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等邊AP即可；
③當(dāng)PA=PE時(shí)，底邊AE=5；即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示：
①當(dāng)AP=AE=5時(shí)，
∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底邊PE=$\sqrt{2}$AE=5$\sqrt{2}$；
②當(dāng)PE=AE=5時(shí)，
∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴PB=$\sqrt{P{E}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∴底邊AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
③當(dāng)PA=PE時(shí)，底邊AE=5；
綜上所述：等腰三角形AEP的對(duì)邊長(zhǎng)為5$\sqrt{2}$或4$\sqrt{5}$或5；
故答案為：5$\sqrt{2}$或4$\sqrt{5}$或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．