Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象頂點(diǎn)為（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）問(wèn)當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減��？并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由于已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²+4，然后把（3，0）代入求出a的值即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)開口向下時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，即x＞1；然后利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再找出函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入得4a+4=0，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x-1）²+4；
（2）因?yàn)閍=-1＜0，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小；
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-1）²+4=0，解得x₁=-1，x₂=3，即拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），
所以當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．