Question

4．計(jì)算：
（1）已知a+b=3，ab=-2，求a²+b²和a²-ab+b²的值；
（2）已知（x+y）²=1，（x-y）²=49，求x²+y²和xy的值；
（3）已知a-b=1，a²+b²=25，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法將a²+b²和a²-ab+b²轉(zhuǎn)化為含a+b與ab的代數(shù)式，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)論；
（2）利用完全平方公式將（x+y）²=1和（x-y）²=49展開，聯(lián)立成含x²+y²和xy的方程組，將x²+y²和xy當(dāng)成一個(gè)整體，解方程組即可得出結(jié)論；
（3）將a-b=1兩邊同時(shí)平方，利用完全平方的展開式，代入a²+b²=25，即可求出ab的值．

解答 解：（1）a²+b²=（a+b）²-2ab=3²-2×（-2）=13；
a²-ab+b²=（a+b）²-3ab=3²-3×（-2）=15．
（2）∵（x+y）²=x²+y²+2xy=1，（x-y）²=x²+y²-2xy=49，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy=49}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=-12}\end{array}\right.$．
（3）∵a-b=1，
∴（a-b）²=a²+b²-2ab=1，
又∵a²+b²=25，
∴25-2ab=1，
解得：ab=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是：（1）將a²+b²和a²-ab+b²轉(zhuǎn)化為含a+b與ab的代數(shù)式；（2）利用完全平方公式的展開式得出關(guān)于x²+y²和xy的方程組；（3）利用完全平方公式的展開式得出關(guān)于ab（將ab當(dāng)成一個(gè)整體）的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用完全平方公式的展開式得出關(guān)于x²+y²和xy的方程組（將x²+y²和xy當(dāng)成一個(gè)整體）是關(guān)鍵．