Question

18．黑板上寫有1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，…$\frac{1}{100}$共有100個數(shù)字，每次操作，先從黑板上的數(shù)選取2個數(shù)a，b，然后刪去a，b，并在黑板上寫上數(shù)a+b+ab，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是100．

Answer 1

分析 經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)為x，則x+1=（1+1）×（$\frac{1}{2}+1$）×（$\frac{1}{3}$+1）×（$\frac{1}{4}$+1）×…×（$\frac{1}{99}$+1）×（1+$\frac{1}{100}$），整理可得x+1=101，解方程即可．

解答 解：∵a+b+ab+1=（a+1）（b+1），
∴每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變，
設經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)為x，則
x+1=（1+1）×（$\frac{1}{2}+1$）×（$\frac{1}{3}$+1）×（$\frac{1}{4}$+1）×…×（$\frac{1}{99}$+1）×（1+$\frac{1}{100}$），
化簡得：x+1=101，
解得：x=100，
∴經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是100．
故答案為：100．

點評 此題主要考查了推理與論證，關鍵是正確利用數(shù)據(jù)找出每次操作前和操作后黑板上剩下的數(shù)的規(guī)律．