Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，B=90°，AB=8cm，AD=25cm，BC=26cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．從運(yùn)動(dòng)開始，使PQ∥CD和PQ=CD，分別需經(jīng)過多少時(shí)間？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，得出AP=tcm，CQ=3tcm，PD=25-t，①當(dāng)PQ∥CD時(shí)，得出方程25-t=3t，求出即可；當(dāng)PQ與CD不平行，PQ=CD時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形，分別過點(diǎn)P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N，則MN=PD=25-t，得出方程

1

2

（4t-25）=1，求出即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
則AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AD=25cm，BC=26cm，
∴PD=AD-AP=25-t，
①當(dāng)PQ∥CD時(shí)，又∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴25-t=3t，
解得t=

25

4

s，即當(dāng)t=

25

4

s時(shí)，PQ∥CD和PQ=CD；
②當(dāng)PQ與CD不平行，PQ=CD時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．
如圖2，分別過點(diǎn)P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，
垂足分別為M、N，則MN=PD=25-t，
QM=CN=

1

2

（CQ-MN）=

1

2

（3t-25+t），
=

1

2

（4t-25），
∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵DN⊥BC，
∴∠BND=90°，
∴四邊形ABND為矩形，
∴BN=AD=25，
∴QM=CN=BC-BN=26-25=1，
∴

1

2

（4t-25）=1，解得t=

27

4

＜

26

3

．
綜上，當(dāng)t=

25

4

s時(shí)，PQ∥CD；當(dāng)t=

25

4

s或t=

27

4

s時(shí)PQ=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，難度適中．