Question

20．如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c過點A，B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點M，做MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M、O、N為頂點的三角形△AOB相似？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點A、點B的坐標(biāo)，然后將點A、B的坐標(biāo)代入代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后解得b、c的值即可；
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，-a²+a+2），由相似三角形的判定定理可知當(dāng)$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$或$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$時以M、O、N為頂點的三角形△AOB相似，然后將AO=1，OB=2，ON=a，MN=-a²+a+2代入求解即可．

解答 解：（1）∵將x=0代入y=2x+2得；y=2，
∴B（0，2）．
∵將y=0代入y=2x+2得：2x+2=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
∵將（0，2）、（-1，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：c=2，b=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，-a²+a+2）．
如圖1所示：

∵∠BOA=∠MNO=90°，
∴當(dāng)$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$時，△AOB∽△ONM．
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{-{a}^{2}+a+2}$，整理得：a²+a-2=0，解得：a₁=1，a₂=-2（舍去）．
∴點M的坐標(biāo)為（1，2）．
如圖2所示：

∵∠BOA=∠MNO=90°，
∴當(dāng)$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$時，△AOB∽△NMO．
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{-{a}^{2}+a+2}{a}$，整理得：2a²-a-4=0，解得：a₁=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，a₂=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍去）．
∴點M的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
綜上所述點M的坐標(biāo)為（1，2）或（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題涉及的知識點包括一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定、解一元二次方程，根據(jù)當(dāng)$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$或$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$時以M、O、N為頂點的三角形△AOB相似列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．