Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC=5，BD=12，AD+BC=13．求證：AC⊥BD．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理,梯形

專題：證明題

分析：首先過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，易得四邊形ACKD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，繼而證得AC⊥BD．

解答：證明：過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∴CK=AD，DK=AC=5，DK∥AC，
∴BK=CK+BC=AD+BC=13，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD．

點評：此題考查了勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及梯形的性質(zhì)，難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．