Question

14．已知點P是平行四邊形ABCD內一點，過點P作EF∥BC交AB、CD分別于E、F，過點P的直線HG分別于H、G，且∠HPF=∠D．
（1）如圖1，求證：四邊形HPFD是平行四邊形；
（2）如圖2，當點P在對角線BD上時，請直接寫出圖中面積相等的四邊形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質和已知條件得出EF∥BC∥AD，由平行線的性質得出∠HPF+∠PHD=180°，證出∠D+∠PHD=180°，得出PH∥FD，即可得出結論；
（2）證出四邊形BGPE是平行四邊形，由平行四邊形的性質得出△ABD的面積=△BCD的面積，△BEP的面積=△BGP的面積，△BDH的面積=△PDF的面積，因此四邊形AEPH的面積=四邊形PGCF的面積，得出四邊形ABGH的面積=四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積=四邊形GHDC的面積即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥AD，
∴∠HPF+∠PHD=180°，
∵∠HPF=∠D，
∴∠D+∠PHD=180°，
∴PH∥FD，
∴四邊形HPFD是平行四邊形；
（2）解：四邊形AEPH的面積=四邊形PGCF的面積，四邊形ABGH的面積=四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積=四邊形GHDC的面積；理由如下：
∵AB∥CD，PH∥FD，
∴AB∥GH∥CD，
∴四邊形BGPE是平行四邊形，
∵△ABD的面積=△BCD的面積，△BEP的面積=△BGP的面積，△BDH的面積=△PDF的面積，
∴四邊形AEPH的面積=四邊形PGCF的面積，
∴四邊形ABGH的面積=四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積=四邊形GHDC的面積．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形面積；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證出四邊形AEPH的面積=四邊形PGCF的面積是解決問題（2）的關鍵．