Question

已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接AC．
（1）求證：AC平分∠EAD；
（2）猜想AB、AD、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OC，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE，而AD⊥EC，則OC∥AD，理由平行線的性質(zhì)得∠OCA=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC，所以∠OAC=∠DAC；
（2）連接CF、BC，BC的延長線交AD的延長線交于G，如圖2，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，加上AC平分∠EAD，則可判斷△ABG是等腰三角形，則AB=AG，CB=CG，利用∠BAC=∠FAC得到CB=CF，則CF=CG，而CD⊥FG，又可判斷△FCG是等腰三角形，得到DF=DG，于是有AB+AF=AG+AF=AD+DG+AD-DF=2AD．

解答：（1）證明：連接OC，如圖1，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠EAD；
（2）解：AB+AF=2AD．理由如下：
連接CF、BC，BC的延長線交AD的延長線交于G，如圖2，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BG，
∵AC平分∠EAD，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB=AG=AF+FG，CB=CG，
∵∠BAC=∠FAC，
∴CB=CF，
∴CF=CG，
而CD⊥FG，
∴△FCG是等腰三角形
∴DF=DG，
∴AB+AF=AG+AF=AD+DG+AD-DF=2AD．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)．