Question

19．已知樣本x₁、x₂、…、x_n的方差為S²，
（1）求x₁+5、x₂+5、…、x_n+5的方差；
（2）求3x₁、3x₂、…、3x_n的方差；
（3）求3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的方差；
（4）通過上述計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)按上述變化后，方差的變化規(guī)律嗎？試說出這條規(guī)律．

Answer 1

分析 根據(jù)n個數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為$\overline{x}$，則方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]進行計算即可，規(guī)律可以從計算結(jié)果中，根據(jù)結(jié)果的變換情況總結(jié)．

解答 解：x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為$\overline{x}$，則方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
（1）x₁+5、x₂+5、…、x_n+5的平均數(shù)是$\overline{x}$+5，方差=$\frac{1}{n}$[（x₁+5-$\overline{x}$-5）²+（x₂+5$\overline{x}$-5）²+…+（x_n+5-$\overline{x}$-5）²]=S²；
（2）3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的平均數(shù)是3$\overline{x}$，方差=$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]=9S²；
（3）3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的平均數(shù)是3$\overline{x}$+5，方差=$\frac{1}{n}$[（3x₁+5-3$\overline{x}$-5）²+（3x₂+-$\overline{x}$-5）²+…+（3x_n+5-$\overline{x}$-5）²]=9S²；
（4）若一組數(shù)據(jù)中的各個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個數(shù)后得到的新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等；若一組數(shù)據(jù)中的各個數(shù)據(jù)都擴大或縮小幾倍，則新數(shù)據(jù)的方差擴大或縮小其平方倍．

點評 本題考查方差的定義與計算公式，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為$\overline{x}$，則方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，