Question

19．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分線OD交BC邊于點(diǎn)D，連結(jié)AD
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）若AC=4cm，求△ABC的面積（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，得到∠B=∠BAD=22.5°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADC=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（2）過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE=DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE、BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵OD是AB的垂直平分線；
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=22.5⁰，
∴∠ADC=45°，
∵∠A=30°，
∴∠DAC=105°；
（2）過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE=DE，
在Rt△ACE中，
∵AC=4，
∴AE=2，EC=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2，
在Rt△AED中，
AD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴BC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AE•BC$=$\frac{1}{2}×2×$（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）=（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．