Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑畫圓交斜邊于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E．
（1）求證：∠DEC=∠B．
（2）若∠B=30°，BC=6，求切線DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，由BC是直徑得到∠CDB=90°，則∠B+∠DCB=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ECD+∠ODC=90°，加上∠ODC=∠DCO，于是有∠EDC=∠B；
（2）先判斷AC為⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到EC=ED，則∠EDC=∠ECD，而∠EDC=∠B，所以∠B=∠ECD=∠EDC=30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠AED=∠ECD+∠EDC=60°，易得△ADE為等邊三角形，所以AE=ED，則AE=EC=DE，然后在Rt△ABC中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AC=

3

3

BC=2

3

，于是得到DE=

1

2

AC=

3

．

解答：（1）證明：∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵ED是切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ECD+∠ODC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ODC=∠DCO，
∴∠EDC=∠B；
（2）解：∵∠ACB=90°，BC是直徑，
∴AC為⊙O的切線，
∴EC=ED，
∴∠EDC=∠ECD，
而∠EDC=∠B，
∴∠B=∠ECD=∠EDC=30°，
∴∠AED=∠ECD+∠EDC=60°，
而∠A=90°-∠B=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AE=ED，
∴AE=EC=DE，
在Rt△ABC中，∵BC=6，∠B=30°
∴AC=

3

3

BC=2

3

，
∴DE=

1

2

AC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．