Question

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+$\sqrt{{a}^{2}+2a+2}$-x+（m+1）=0對任意的實(shí)數(shù)a均有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由判別式的意義得出△=a²+2a+2-4（m+1）≥0對任意的實(shí)數(shù)a恒成立，解不等式即可．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+$\sqrt{{a}^{2}+2a+2}$x+（m+1）=0對任意的實(shí)數(shù)a均有實(shí)數(shù)根，
∴△=a²+2a+2-4（m+1）≥0對任意的實(shí)數(shù)a恒成立，
即（a+1）²-（4m+3）≥0，
∴4m+3≤0，
∴m≤-$\frac{3}{4}$．
故答案為m≤-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．