Question

【題目】如圖，已知：正方形ABCD，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接AE、DE，DE與邊AB交于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥BE交AE于點(diǎn)G．

（1）求證：GF=BF；

（2）若EB=1，BC=4，求AG的長(zhǎng)；

（3）在BC邊上取點(diǎn)M，使得BM=BE，連接AM交DE于點(diǎn)O．求證：FOED=ODEF．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AG=；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，等量代換即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）延長(zhǎng)GF交AM于H，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到，等量代換得到，即，于是得到結(jié)論．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，

∵GF∥BE，

∴GF∥BC，

∴GF∥AD，

∴，

∵AB∥CD，

，

∵AD=CD，

∴GF=BF；

（2）∵EB=1，BC=4，

∴=4，AE=，

∴=4，

∴AG=；

（3）延長(zhǎng)GF交AM于H，

∵GF∥BC，

∴FH∥BC，

∴，

∴，

∵BM=BE，

∴GF=FH，

∵GF∥AD，

∴，，

∴，

∴，

∴FOED=ODEF．