Question

5．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=6．動點D從C出發(fā)到A停止，沿線段CA以每秒1個單位長度的速度移動．先過點D作DF⊥BC于F，再過點F作FE∥AC，交AB于E．設(shè)動點D的運動時間為t秒．
（1）填空：CD=t，DF=$\frac{1}{2}$t，（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時，求t的值；
（3）當(dāng)△FED是直角三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知D點運動速度與運動時間表示出DC的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DF的長；
（2）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合（1）中所求即可得出答案；
（3）利用分類討論結(jié)合①當(dāng)∠DFE=90°時．②當(dāng)∠FDE=90°時，③當(dāng)∠DEF=90°時，分別分析得出符合題意的答案．

解答 解：（1）∵動點D從C出發(fā)到A停止，沿線段CA以每秒1個單位長度的速度移動，過點D作DF⊥BC于F，
∴設(shè)動點D的運動時間為t秒，則CD=t，DF=CD•sin30°=$\frac{1}{2}$t，
故答案為：CD=t，DF=$\frac{1}{2}$t；

（2）如圖1，當(dāng)四邊形AEFD為菱形時，有AD=DF，
∵AC=6，CD=t
∴AD=6-t，
∴6-t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=4；

（3）討論：
①當(dāng)∠DFE=90°時．
∵FE∥AC，∠C=30°，
∴∠EFB=∠C=30°，
∴∠DFE=180°-90°-30°=60°≠90°，
∴這種情況不存在，
②當(dāng)∠FDE=90°時，如圖2，

∵DF⊥BC，∠B=90°，
∴∠DFC=∠B=90°，
∴DF∥AB，
∵EF∥AC，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴AE=DF=$\frac{1}{2}t$，
∵∠DFC=∠FDE=90°，
∴∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°，∠AED=∠B=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，
即$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{2}$（6-t），
解得：t=3，
 ③當(dāng)∠DEF=90°時，如圖3，

∵EF∥AC，∠C=30°，
∴∠EFB=∠C=30°，
∵∠EFC=90°，
∴∠DFE=60°，
∵∠DEF=90°，
∴∠FDE=30°，
∵∠B=90°，
∴∠FEB=60°，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED=30°，
∴∠ADE=30°，
∴∠ADE=90°，∠AED=∠FDE=30°，
∴FD∥AE，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴AE=DF=$\frac{1}{2}$t，
在Rt△ADE中，
∠ADE=90°，∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
即6-t=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t，
解得：t=$\frac{24}{5}$．
綜上所述，當(dāng)△FED是直角三角形時，t的值為3或$\frac{24}{5}$．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，根據(jù)題意結(jié)合分類討論得出當(dāng)△FED是直角三角形時求出t的值是解題關(guān)鍵．