Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(－4，3)，反比例函數(shù)的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，BC于E，F（E，F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A，D重合．

　　　　　

（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好在矩形ABOC的對(duì)角線BC上時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

②若折疊后點(diǎn)D落在矩形ABOC內(nèi)（不包括邊界），求線段CE長(zhǎng)度的取值范圍．

（2）若折疊后，△ABD是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①EC＝2； ②；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）①根據(jù)A(－4，3)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征可得E、F的坐標(biāo)，從而可表示出AE、AF并求得，從而證得△AEF∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)的折疊的性質(zhì)可推出，即可求得結(jié)果；

②當(dāng)D在BO上時(shí)，由折疊的性質(zhì)和同角的余角相等證得△AEF∽△BAD，設(shè)AF=x，利用勾股定理可列出方程，解之得AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE、CE的長(zhǎng)，即可得出CE的取值范圍；

（2）由△ABD是等腰三角形，可得或，分情況進(jìn)行求解即可．

解:（1）①由題意得，，

∵，則，，

∴，，

∴，

∵由A(－4，3)得：，

∴，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△AEF∽△ACB，

∴∠AEF=∠ACB，

∴EF∥CB，

如圖2，連接AD交EF于點(diǎn)H ，

由折疊的性質(zhì)得：AH=DH，

∵D在BC上，

∴，則，

∴；

②由折疊得EF垂直平分AD，

∴，則，

又∵，

∴，

如圖，當(dāng)D落在BO上時(shí)，∵，

∴△AEF∽△BAD，

∴，則，

∴，

設(shè)AF=x，則FB=3－x，FD=AF=x，

在Rt△BDF中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，

∴，

∴，

∴，即折疊后點(diǎn)D落在矩形ABOC內(nèi)（不包括邊界），CE的取值范圍為；

（2）∵△ABD是等腰三角形，顯然，

∴或，

①當(dāng)時(shí)，，

由（1）得：，

∴，

如圖，過(guò)點(diǎn)D作軸分別交AB、y軸于點(diǎn)M、N，

則，，

∴，，

∴△AEF∽△MBD，

∴，則，

∴，

∴，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作軸分別交AB、y軸于點(diǎn)M、N，

則，，，

∴，

由（1）得，

∴△AEF∽△MAD，

∴，則，

設(shè)，則，

在Rt△MAD中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，，

∴，，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

綜上所述，若折疊后，△ABD是等腰三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．