Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：直線BC為⊙O的切線；
（3）若BD=5，DC=3，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,作圖—復雜作圖

專題：證明題

分析：（1）作AD的垂直平分線交AB于點O，然后以點O為圓心、OA為半徑作圓即可；
（2）連結OD，如圖1，由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD，加上∠OAD=∠ODA，所以∠CAD=∠ODA，則可判斷OD∥AC，易得∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；
（3）先根據平行線分線段成比例定理，由OD∥AC得到

BO

AO

=

BD

CD

=

5

3

，則可設BO=5t，AO=3t，所以OD=3t，利用勾股定理得到BD=4t，則有4t=5，解得t=

5

4

，所以OD=

15

4

，然后證明△BOD∽△BAC，再利用相似比可計算出AC的長．

解答：（1）解：⊙O為所求，如圖，

（2）證明：連結OD，如圖1，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴直線BC為⊙O的切線；
（3）∵OD∥AC，
∴

BO

AO

=

BD

CD

=

5

3

，
設BO=5t，則AO=3t，
∴OD=3t，
在Rt△BOD中，∵BO=5t，OD=3t，
∴BD=

OB2-OD2

=4t，
∴4t=5，解得t=

5

4

∴OD=

15

4

，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

OD

AC

=

BD

BC

，即

15 4

AC

=

5

5+3

，
∴AC=6．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了作圖和相似三角形的判定與性質．