Question

18．如圖，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AC、CE，使AB=AC．
①求證：△BAD≌△AEC；
②若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=12，求平行四邊形ABDE的面積．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE∥BD，AE=BD，得出∠ACB=∠CAE=∠B，再由SAS證明三角形全等即可；
（2）首先根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BG=$\sqrt{3}$x，進(jìn)而利用BG-DG=BD求出AG的長，進(jìn)而得出平行四邊形ABDE的面積．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE=∠B，
在△DBA和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠EAC}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△EAC（SAS）；
（2）解：過A作AG⊥BC，垂足為G，如圖所示：
設(shè)AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，
∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，
∴BG=$\sqrt{3}$x，
又∵BD=12，
∴BG-DG=BD，即$\sqrt{3}$x-x=12，
解得：AG=x=$\frac{12}{\sqrt{3}-1}$=6$\sqrt{3}$+6，
∴S_{平行四邊形ABDE}=BD•AG=12×（6$\sqrt{3}$+6）=72$\sqrt{3}$+72．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；根據(jù)BG-DG=BD得出AG的長是解決問題（2）的關(guān)鍵．