Question

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時△EMN的面積；

（2）設MN與AB之間的距離為米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)； 

（3）請你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值，若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．  

Answer 1

解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面積為0.5平方米.

（2）①如圖1所示，當MN在矩形區(qū)域滑動，

即0＜x≤1時， 

△EMN的面積S= = ；

②如圖2所示，當MN在三角形區(qū)域滑動，

即1＜x＜ 時，

如圖，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，

∵ E為AB中點，

∴ F為CD中點，GF⊥CD,且FG＝ .

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴  ，即 ．

故△EMN的面積S＝

＝ ；

綜合可得： 

  

（3）①當MN在矩形區(qū)域滑動時， ，所以有

②當MN在三角形區(qū)域滑動時，S= .

因而，當 （米）時,S得到最大值，

最大值S= = = （平方米）.

∵  ，

∴ S有最大值，最大值為 平方米.