Question

如圖，矩形ABCD中，AB=

2

，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F．
（1）設(shè)BE=x，∠ADF的余切值為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若存在點(diǎn)E，使得△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3：4：5，試求矩形ABCD的面積；
（3）對(duì)（2）中求出的矩形ABCD，連接CF，當(dāng)BE的長(zhǎng)為多少時(shí)，△CDF是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件矩形ABCD和DF⊥AE，證△ABE∽△DFA，從而求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)存在，由題意△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3：4：5，可得BE=

1

2

BC，設(shè)BE=x，證△ABE∽△DFA，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類(lèi)討論，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根據(jù)三角形相似進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°又∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA，
∴

BE

FA

=

AB

DF

，
∴y=

2

x

；（3分）

（2）∵△ABE：△ADF：四邊形CDFE的面積比是3：4：5，
∴S△ABE=

1

4

S矩形ABCD，
∴BE=

1

2

BC，（1分）
設(shè)BE=x，則BC=2x，
∵△ABE∽△DFA，且△ABE：△ADF=3：4
∴

AD2

AE2

=

4

3

，∴

4x2

x2+2

=

4

3

，（2分）
解得x=1，（1分）
∴BC=2，S矩形ABCD=2

2

；（1分）

（3）①CF=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，
則CM∥AE，DM=MF，（1分）
延長(zhǎng)CM交AD于點(diǎn)G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴當(dāng)BE=1時(shí)，△CDF是等腰三角形；（1分）

②DF=DC時(shí)，則DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
則BE=

2

，
∴當(dāng)BE=

2

時(shí)，△CDF是等腰三角形；（1分）

③FD=FC時(shí)，則點(diǎn)F在CD的垂直平分線(xiàn)上，故F為AE中點(diǎn)．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

=

AF

EB

，

2

2+x2

=

2+x2 2

x

，
x²-4x+2=0，
解得x=2±

2

，
∴當(dāng)BE=2-

2

時(shí)，△CDF是等腰三角形．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，考查知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性比較強(qiáng)，另外要注意輔助線(xiàn)的作法．