Question

17．如圖，在?ABCD中，E為AD的中點，F(xiàn)為CD延長線上一點，若∠CFB=2∠ABE．求證：BF=DC-DF．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，得出∠CFB=∠ABF，由已知得出∠ABF=2∠ABE，證出BE為∠ABF的角平分線，得出∠1=∠2，因此BE交CD的延長線于M，證出∠2=∠3，由AAS證明△ABE≌△DME，得出AB=DM=CD，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠CFB=∠ABF，
又∵∠CFB=2∠ABE，
∴∠ABF=2∠ABE，
∴BE為∠ABF的角平分線，
∴∠1=∠2，
延長BE交CD的延長線于M，如圖所示：
∵AB∥CM，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BF=MF，
∵E我AD的中點，
∴AE=DE，
在△ABE和△DME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}&{\;}\\{∠AEB=∠DEM}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB=DM=CD，
∵M(jìn)F=DM-DF，
∴BF=DC-DF．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．