Question

已知二次函數(shù)y=mx²+nx+2圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是

3

2

，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC為直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線BC于N，交這個(gè)拋物線于M，求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以C、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)OA=a，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性表示出OB，然后根據(jù)△AOC和△COB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出a，然后求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后表示出MN，再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，分CM、CN是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D在y軸上求出OD的長(zhǎng)，然后寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可，求出MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性求出MN是對(duì)角線時(shí)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令x=0，則y=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），OC=2，
設(shè)OA=a，∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是

3

2

，
∴OB=（

3

2

+a）+

3

2

=a+3，
∵△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

a

2

=

2

a+3

，
整理得，a²+3a-4=0，
解得a₁=1，a₂=-4（舍去），
a+3=1+3=4，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴

m-n+2=0 16m+4n+2=0

，
解得

m=- 1 2 n= 3 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=2 4k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+2，
由題意得，點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)都是t，
∴MN=-

1

2

t²+

3

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-

1

2

t²+2t=-

1

2

（t-2）²+2，
∵a=-

1

2

＜0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值，最大值為2；

（3）當(dāng)t=2時(shí)，M（2，3），N（2，1），
∴MN=3-1=2，
當(dāng)CM是平行四邊形對(duì)角線時(shí)，CD=MN=2，
∴OD=2+2=4，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），
當(dāng)CN是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，CD=MD=2，
∴OD=2-2=0，
點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)MN是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
則

0+x

2

=2，

2+y

2

=2，
解得x=4，y=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2），
綜上所述，以C、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）或（0，0）或（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，平行四邊形的中心對(duì)稱性，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)三角形的三邊為平行四邊形對(duì)角線分情況討論．