Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），拋物線對稱軸與軸相交于點M．
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；                                
（2）設(shè)點P為拋物線（）上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的
正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標(biāo)；                
（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求
出點N的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．             

Answer 1

（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為，
　　把點A（0，4）代入上式得：，
　　∴，
　　∴拋物線的對稱軸是：．
（2）由已知，可求得P（6，4）． 

提示：由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點P的坐標(biāo)中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，，因為拋物線對稱軸過點M，所以在拋物線的圖象上有關(guān)于點A的對稱點與M的距離為5，即PM=5，此時點P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，
即P（6，4）．
⑶法一：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．

設(shè)N點的橫坐標(biāo)為，此時點N（，過點N作NG∥軸交AC于G；由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：；把代入得：，則G，
此時：NG=-（）， 
=．       
∴
∴當(dāng)時，△CAN面積的最大值為，
由，得：，∴N（， -3）．
法二：提示：過點N作軸的平行線交軸于點E，作CF⊥EN于點F，則

解析