Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線y=

3

4

x+3與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在該坐標(biāo)系平面內(nèi)有以點(diǎn)P（不與點(diǎn)ABO重合）為頂點(diǎn)的直角三角形與Rt三角形ABO全等，且有一條公共邊，則所有符合條件的P點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少個(gè)？并求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：可先求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再分以AB為公共邊，以O(shè)A為公共邊和OB為公共邊進(jìn)行分別討論求其坐標(biāo)即可．

解答：解：在y=

3

4

x+3中，令x=0則y=3，令y=0則x=-4，
∴A為（-4，0），B為（0，3），可求得AB=5，
（Ⅰ）當(dāng)以AB為公共邊時(shí)，分兩種情況：
（1）當(dāng)PA=3，PB=4時(shí)，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，如圖1，
可知∠PBA=∠BAO，
∴PB∥OA，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），

當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖2，設(shè)PB交AO于點(diǎn)C，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=AO=4，PA=OB=3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則PE=DO=-x，PD=-y，AD=4+x，BE=3-y，
在Rt△PEB中，由勾股定理可得（-x）²+（3-y）²=4²，整理可得x²+y²-6y=7①，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得（4+x）²+y²=3²，整理可得x²+y²+8x=-7②，
由①、②可解得x=-

119

50

，y=-

21

25

，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

119

50

，-

21

25

）；

（2）當(dāng)PA=4，PB=3時(shí)，
當(dāng)P在x軸上時(shí)則與O點(diǎn)重合，
當(dāng)P在x軸上方時(shí)，如圖3，過P作PF⊥x軸，過B作BG⊥PF于點(diǎn)G，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=BO=3，PA=OA=4，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則PF=y，F(xiàn)O=BG=-x，AF=4+x，PG=y-3，
在Rt△AFP中，由勾股定理可得y²+（4+x）²=4²，整理可得x²+y²+8x=0③，
在Rt△PGB中，由勾股定理可得x²+（y-3）²=3²，整理可得x²+y²-6y=0④，
由③、④可解得x=-

144

50

，y=

96

25

，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

144

50

，

96

25

，）；

（Ⅱ）當(dāng)以AO為公共邊時(shí)，分兩種情況：
當(dāng)P點(diǎn)在x上方時(shí)，與（-4，3）重合，如圖4，
當(dāng)P點(diǎn)在x下方時(shí)，當(dāng)AP=BO=3時(shí)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-3），
當(dāng)PO=BO=3時(shí)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），

（Ⅲ）當(dāng)以BO為公共邊時(shí)，分兩種情況：
當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，與（-4，3）重合，如圖5，
當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，當(dāng)BP=AO=4時(shí)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
當(dāng)OP=OA=4時(shí)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），

綜上可知滿足條件的P點(diǎn)共有七個(gè)，坐標(biāo)分別為（-4，3）、（-

119

50

，-

21

25

）、（-

144

50

，

96

25

，）、（-4，-3）、（0，-3）、（4，3）、（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及直線的交點(diǎn)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．分類討論是這類問題的解題思想，先確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用勾股定理得到坐標(biāo)的方程是解題中的困難．本題數(shù)據(jù)比較繁瑣，很容易出錯(cuò)．情況比較多，注意不重不漏．