Question

16．我們規(guī)定，是函數(shù)值為零的x的值稱為函數(shù)的零點，例如函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1，則我們就說1是函數(shù)y=x-1的零點．
（1）求一次函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的零點；
（2）試寫出零點是-2的一個一次函數(shù)的解析式；
（3）坐標平面上有兩點A（-2，0），O（0，0）．試在直線y=-x+3上找一點P，使△PAO的周長最小，請求出P點的坐標及△PAO周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0，解方程求出答案；
（2）利用函數(shù)的零點的定義，結(jié)合一次函數(shù)的零點是-2，進而得出答案；
（3）首先得出O點關于直線y=-x+3的對稱點O′，再利用軸對稱的性質(zhì)得出P點位置，進而得出直線AO′的解析式，求出兩直線交點，再利用勾股定理得出△PAO周長的最小值．

解答 解：（1）∵y=0，
∴0=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
解得：x=3，
∴一次函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的零點是3；

（2）一次函數(shù)的零點是-2，則此函數(shù)可以為：y=x+2；

（3）如圖所示：∵直線y=-x+3，
∴圖象與x軸交點為：（3，0），與y軸交點坐標為：（0，3），
則O點關于直線y=-x+3對稱點為：（3，3），
設直線AO′的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
故直線AO′的解析式為：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{6}{5}$，
將y=-x+3與y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{6}{5}$，聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{8}}\\{y=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，
故P（$\frac{9}{8}$，$\frac{15}{8}$），
由以上可得：
∵PO=PO′，
∴△PAO周長的最小值為：AP+PO+AO=AO′+AO=2+$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=2+$\sqrt{34}$．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及新定義和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及勾股定理等知識，根據(jù)題意結(jié)合軸對稱的性質(zhì)得出P點位置是解題關鍵．