Question

某學(xué)校計(jì)劃將校園內(nèi)形狀為銳角△ABC的空地（如圖）進(jìn)行改造，將它分割成△AHG，△BHE，△CGF和矩形EF-GH四部分，且矩形EFGH作為停車(chē)場(chǎng)．經(jīng)測(cè)量BC=120m，高AD=80m．
（1）若學(xué)校計(jì)劃在△AHG上種草，在△BHE，△CGF上都種花，如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)、寬使得種草的面積與種花的面積相等？
（2）若種草的投資是每平方米6元，種花的投資是每平方米10元，停車(chē)場(chǎng)鋪地磚投資是每平方米4元，又如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)、寬使得△ABC空地改造投資最��？最小為多少？

Answer 1

分析：（1）可利用相似分別表示出相應(yīng)的三角形的底與高，讓面積相等即可
（2）把相應(yīng)的總投資用含x的代數(shù)式表示出后，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設(shè)FG=x米，則AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，（2分）
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，
解得x=40．
∴當(dāng)矩形的長(zhǎng)為60米，寬為40米時(shí)，種草的面積和種花的面積相等．

（2）設(shè)改造后的總投資為W元．
則W=

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）•6+

1

2

×

3

2

x•x•10+x（120-

3

2

x）•4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次項(xiàng)系數(shù)6＞0，
∴當(dāng)x=20時(shí)，W_最小=26400．
答：當(dāng)矩形EFGH的邊FG長(zhǎng)為20米時(shí)，空地改造的總投資最小，最小值為26400元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值，需注意在做題過(guò)程中加以理解應(yīng)用．