Question

如圖1，點A是反比例函數(shù)y₁=

2

x

（x＞0）圖象上的任意一點，過點A作AB∥x軸，交另一個反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）的圖象于點B．
（1）若S_△AOB=3，則k=

 

；
（2）當(dāng)k=-8時：
①若點A的橫坐標(biāo)是1，求∠AOB的度數(shù)；
②將①中的∠AOB繞著點O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠AOB的兩邊分別交反比例函數(shù)y₁、y₂的圖象于點M、N，如圖2所示．在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OMN的度數(shù)是否變化？并說明理由；
（3）如圖1，若不論點A在何處，反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）圖象上總存在一點D，使得四邊形AOBD為平行四邊形，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）AB交y軸于H，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得S_△AOH=

1

2

×2=1，S_△BOH=

1

2

|k|，由于S_△AOB=3，則1+

1

2

|k|=3，解得k=4或-4，由于k＜0，
所以k=-4；
（2）①先確定A點坐標(biāo)為（1，2），B點坐標(biāo)為（-4，2），根據(jù)勾股定理計算出OA=

5

，由于

AH

OA

=

OA

AB

=

5

5

，∠HAO=∠OAB，根據(jù)相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB，所以∠AOB=∠OHA=90°，
②作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，如圖2，設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MON=90°，易證得Rt△ONE∽Rt△MOF，則

NE

OF

=

OE

MF

=

ON

OM

，即

- 8 b

a

=

-b

2 a

=

ON

OM

，可解得得ab=-4，所以

ON

OM

=

-ab

2

=

4

2

=2，
在Rt△OMN中，利用正切的定義得tan∠NMO=

ON

OM

=2，延長可判斷∠OMN的值為定值；
（3）連結(jié)OD交AB于P，如圖1，設(shè)A點坐標(biāo)為（t，

2

t

），則B點坐標(biāo)為（

kt

2

，

2

t

），
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PA=PB，PD=PO，根據(jù)線段中點坐標(biāo)公式得到P點坐標(biāo)為（

kt+2t

4

，

2

t

），則D點坐標(biāo)為（

kt+2t

2

，

4

t

），然后把D（

kt+2t

2

，

4

t

）代入y=

k

x

得

kt+2t

2

•

4

t

=k，于是可解得k=-4．

解答：解：（1）AB交y軸于H，如圖1，
∵AB∥x軸，
∴S_△AOH=

1

2

×2=1，S_△BOH=

1

2

|k|，
∵S_△AOB=3，
∴1+

1

2

|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案為-4；

（2）①把x=1代入y=

2

x

得y=2，
∴A點坐標(biāo)為（1，2），
∵AB∥x軸，
∴B點的縱坐標(biāo)為2，
把y=2代入y=-

8

x

得-

8

x

=2，解得x=-4，
∴B點坐標(biāo)為（-4，2），
∴AH=1，BH=4，OH=2，
∴OA=

AH2+OH2

=

5

，AB=5
∴

AH

OA

=

OA

AB

=

5

5

，
而∠HAO=∠OAB，
∴△HAO∽△OAB，
∴∠AOB=∠OHA=90°，
②不變化．理由如下：
作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，如圖2，
設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，
∵∠AOB繞著點O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠AOB的兩邊分別交反比例函數(shù)y₁、y₂的圖象于點M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴

NE

OF

=

OE

MF

=

ON

OM

，即

- 8 b

a

=

-b

2 a

=

ON

OM

，
∴a²b²=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴

ON

OM

=

-ab

2

=

4

2

=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=

ON

OM

=2，
∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OMN的度數(shù)不變化；

（3）連結(jié)OD交AB于P，如圖1，
設(shè)A點坐標(biāo)為（t，

2

t

），則B點坐標(biāo)為（

kt

2

，

2

t

），
∵四邊形AOBD為平行四邊形，
∴PA=PB，PD=PO，
∴P點坐標(biāo)為（

kt+2t

4

，

2

t

），
∴D點坐標(biāo)為（

kt+2t

2

，

4

t

），
把D（

kt+2t

2

，

4

t

）代入y=

k

x

得

kt+2t

2

•

4

t

=k，
∴k=-4．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和平行四邊形的性質(zhì)；會利用相似比進行計算．