Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，點(diǎn)E，F分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF．

（1）線段BE與AF的位置關(guān)系是　 　，＝　 　．

（2）如圖2，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)（0°＜a＜180°），連結(jié)AF，BE，（1）中的結(jié)論是否仍然成立．如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖3，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)（0°＜a＜180°），延長FC交AB于點(diǎn)D，如果AD＝6﹣2，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）互相垂直；（2）結(jié)論仍然成立（3）135°

【解析】

試題（1）結(jié)合已知角度以及利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AB的長，進(jìn)而得出答案；
（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，進(jìn)而得出∠1=∠2，即可得出答案；
（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則DB=4-（6-2）=2-2，進(jìn)而得出BH=-1，DH=3-，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，進(jìn)而得出答案．

試題解析：（1）如圖1，線段BE與AF的位置關(guān)系是互相垂直；
∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AC=2，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，
∴=

（2））如圖2，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，

∴EC=BC，F(xiàn)C=AC，
∴，
∵∠BCE=∠ACF=α，
∴△BEC∽△AFC，
∴，
∴∠1=∠2，
延長BE交AC于點(diǎn)O，交AF于點(diǎn)M
∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2
∴∠BCO=∠AMO=90°
∴BE⊥AF；

（3）如圖3，

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°

過點(diǎn)D作DH⊥BC于H∴DB=4-（6-2）=2-2，

∴BH=-1，DH=3-，又∵CH=2-（-1）=3-，

∴CH=BH，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，α=180°-45°=135°．