Question

已知四邊形ABCD，E是CD上的一點，連接AE、BE．
（1）給出四個條件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③AE⊥EB，④AB=AD+BC．請你以其中三個作為命題的條件，寫出一個能推出AD∥BC的正確命題，并加以證明；
（2）請你判斷命題“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中點，則AD∥BC”是否正確，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),命題與定理

專題：

分析：（1）根據(jù)①②④能推出AD∥BC，在AB上取點M，使AM=AD，連結(jié)EM，證△AME≌△ADE和△BME≌△BCE，求出∠D=∠AME，∠C=∠BME，推出∠D+∠C=180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）舉出反例圖形，根據(jù)反例得出即可．

解答：解：（1）如：①②④推出AD∥BC，

證明：在AB上取點M，使AM=AD，連結(jié)EM，
∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE，
在△AEM和△AED中，

AM=AD ∠MAE=∠DAE AE=AE

∴△AEM≌△AED（SAS），
∴∠D=∠AME，
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC，
在△BEM和△BCE中，

BM=BC ∠MBE=∠CBE BE=BE

，
∴△BEM≌△BCE（SAS），
∴∠C=∠BME，
∴∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°，
∴AD∥BC；

（2）不正確     
理由是：作等邊三角形ABM，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABM且AE、BE交于E，連結(jié)EM，
則EM⊥AB，過E作ED∥AB交AM于D，交BM與C，
則E是CD的中點而AD和BC相交于點M，
∴命題“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中點，則AD∥BC”是不正確的．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力，有一定的難度．