Question

8．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線有一點(diǎn)P，當(dāng)四邊形OBPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上有一點(diǎn)N（0，n），當(dāng)∠ANB≤45°，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=0即可求出y的值，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；令y=0，解一元二次方程，求出x的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）首先求出直線BC的解析式，根據(jù)題意可知當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，四邊形OPBC的面積最大，設(shè)P（m，-m²-2m+3），則D（m，m+3），用m表示出DP的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；
（3）在y軸的正半軸上的點(diǎn)N，使得∠BNA=45°，設(shè)△BAN的外接圓的圓心為M，則點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，且MA=MB=MN，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理的知識(shí)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；同理可求出在y軸負(fù)半軸上N′的坐標(biāo)，據(jù)此求出滿足題意n的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線y=-x²-2x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
則點(diǎn)C（0，3），
當(dāng)y=0時(shí)，即y=-x²-2x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
故點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，
∵直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）、B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-3k+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
根據(jù)題意可知，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，四邊形OPBC的面積最大，
如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交直線BC于點(diǎn)D，
這時(shí)S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD×OB=$\frac{3}{2}$PD，
設(shè)P（m，-m²-2m+3），則D（m，m+3），
∴DP=-m²-2m+3-（m+3）
=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，DP取得最大值，△PBC的面積最大，
∴當(dāng)四邊形OPBC的面積最大，點(diǎn)P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖2，在y軸的正半軸上的點(diǎn)N，使得∠BNA=45°，
設(shè)△BAN的外接圓的圓心為M，則點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，且MA=MB=MN，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，
∵∠BMA=2∠BNA=90°，
∴MF=BF=AF=$\frac{1}{2}$AB=2，ME=OF=1，
∴MN=MB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△DFB中，
NE=$\sqrt{M{N}^{2}-M{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴ON=OE+EN=MF+EN=2+$\sqrt{7}$，
∴N（0，2+$\sqrt{7}$），
同理，在y軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)N′，當(dāng)∠BN′A=45°，點(diǎn)N′（0，-2-$\sqrt{7}$），
于是當(dāng)∠ANB≤45°時(shí)，n≥2+$\sqrt{7}$或n≤-2-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積的求法、外接圓以及勾股定理的知識(shí)，解答（2）問(wèn)的用m表示出DP的長(zhǎng)，解答（3）問(wèn)的關(guān)鍵是作出△BAN外接圓的圓心M，此題有一定的難度．