Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圓規(guī)作BC的垂直平分線l，交斜邊AB于點O．
（1）猜想：點O是AB的什么特殊點？證明你的猜想；
（2）點O在AC的垂直平分線上嗎？說明理由；
（3）結(jié)合（1）（2），你有何發(fā)現(xiàn)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到OC=OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OA=OC，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理即可證明；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論進行歸納即可．

解答 解：（1）點O是AB的中點，
證明：∵OE是線段AB的垂直平分線，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB+∠OCA=90°，∠OBC+∠A=90°，
∴∠OCA=∠A，
∴OA=OC，又OC=OB，
∴OA=OB，
∴點O是AB的中點；
（2）∵OA=OC，
∴點O在AC的垂直平分線上；
（3）結(jié)合（1）（2）可知，直角三角形三邊的垂直平分線相交于斜邊的中點．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．