Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，以BC邊為直徑在正方形內作半圓O，再過頂點A作半圓O的切線（切點為F）交CD邊于E，則sin∠DAE=    ．

Answer 1

【答案】分析：設正方形ABCD的邊長為4a，EC=x，根據切線長定理得到AF=AB=4a，EC=EF=x，在Rt△ADE中利用勾股定理可得到x與a的關系，從而可用a表示AE、DE，然后在Rt△ADE中，利用正弦函數的定義求解即可．
解答：解：設正方形ABCD的邊長為4a，EC=x，
∵AF為半圓O的切線，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，
在Rt△ADE中，DE=4a-x，AE=4a+x，
∴AE²=AD²+DE²，即（4a+x）²=（4a）²+（4a-x）²，
解得x=a，
∴AE=5a，DE=3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE===．
故答案為．
點評：本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了正方形的性質、勾股定理以及銳角三角函數的定義．