Question

如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)C為弧AD的中點(diǎn)．
（1）求證：OF∥BD；
（2）若

FE

ED

=

1

2

，且⊙O的半徑R=6cm．求圖中陰影部分（弓形）的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）利用垂徑定理的推論得出OC⊥AD，進(jìn)而求出∠BDA=90°，BD⊥AD，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△ECF∽△EBD，進(jìn)而得出FC=

1

2

BD，再得出△AOC為等邊三角形，利用S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC，求出即可．

解答：（1）證明：∵OC為半徑，點(diǎn)C為弧AD的中點(diǎn)，
∴OC⊥AD．
∵AB為直徑，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD．
∴OF∥BD．

（2）解：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴OF=

1

2

BD．
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE．
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴

FC

BD

=

EF

ED

=

1

2

，∴FC=

1

2

BD．
∴FC=FO，即點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)．
∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形．
∴根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得△AOC的高為

3

2

×6=3

3

．
∴S_陰影=

60π×62

360

-

1

2

×6×3

3

=6π-9

3

（cm²）．
答：圖中陰影部分（弓形）的面積為（6π-9

3

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及扇形面積求法等知識(shí)，得出△ECF∽△EBD是解題關(guān)鍵．