Question

11．如圖，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，BC＞AC，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）C是線段DE的黃金分割點(diǎn)嗎？請說明理由；
（2）若線段AB的長為100cm，請你求出線段DC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)黃金分割的概念和中點(diǎn)的性質(zhì)列式可得答案；
（2）根據(jù)黃金比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．

解答 解：（1）∵C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，
∴BC²=AC•AB，
∵D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE²=DC•DE，
∴C是線段DE的黃金分割點(diǎn)；
（2）∵BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=50（$\sqrt{5}$-1），
∴AC=100-50（$\sqrt{5}$-1）=150-50$\sqrt{5}$，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DC=75-25$\sqrt{5}$cm．

點(diǎn)評 本題考查了黃金分割的概念和，應(yīng)用掌握把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黃金比是解題的關(guān)鍵．