Question

18．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點F，G，F(xiàn)G與BE的交點為O，連按BF和EG，試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 根據垂直平分線的性質求出OB=OE，BF=EF，根據矩形性質和平行線性質求出∠FEO=∠GBO，證△FOE≌△GOB，推出OF=OG，即可得出答案；

解答 解：四邊形BFEG的形狀是菱形，
理由是：∵BE的垂直平分線分別交AD、BC于點F、G，
∴OB=OE，BF=EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEO=∠GBO，
在△FOE和△GOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEO=∠GBO}&{\;}\\{OE=OB}&{\;}\\{∠FOE=∠GOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△GOB，
∴OF=OG，
∵OB=OE，
∴四邊形BFEG是平行四邊形，
∵BF=EF，
∴四邊形BFEG是菱形．

點評 本題考查了矩形的性質，垂直平分線性質，平行四邊形的判定，勾股定理，菱形的判定的應用，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關鍵，綜合性比較強，難度偏大．