Question

9．如圖，直線y=x與反雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限交于點(diǎn)A，AB⊥x軸于B（2，0），點(diǎn)C是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）①若△OBC的面積為1，求△AOC的面積．
②在①的條件下，根據(jù)圖象直接寫出在第一象限內(nèi)當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)A、C的一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，即可得到A（2，2），再代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可得反比例函數(shù)的解析式．
（2）①過C作CD⊥x軸于D，根據(jù)△OBC的面積為1，求得CD=1，進(jìn)而得到C（4，1），再根據(jù)S_△AOC+S_△COD=S_△AOB+S_{四邊形ABDC}，即可得到△AOC的面積．
②根據(jù)在第一象限內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A、C的一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值，即可得到x的取值范圍．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸于B（2，0），
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，
在直線y=x中，當(dāng)x=2時(shí)，y=2，
∴A（2，2），
把A（2，2）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可得
k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）①如圖，過C作CD⊥x軸于D，

當(dāng)△OBC的面積為1時(shí)，$\frac{1}{2}$OB×CD=1，
∴$\frac{1}{2}$×2×CD=1，即CD=1，
當(dāng)y=1時(shí)，1=$\frac{4}{x}$，
∴x=4，即C（4，1），
∵S_△AOC+S_△COD=S_△AOB+S_{四邊形ABDC}，
∴S_△AOC+$\frac{1}{2}$|4|=$\frac{1}{2}$|4|+$\frac{（1+2）×2}{2}$，
∴S_△AOC=3；
②由圖可得，第一象限內(nèi)，當(dāng)x滿足：0＜x＜2或x＞4時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)A、C的一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)值大于（或小于）反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在雙曲線上方（或下方）部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．