Question

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合并將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點(diǎn)．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求BN的長．
（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，即點(diǎn)M在AC上（不與A、C重合），
①猜想圖②中AM²、CM²、CN²、BN²之間滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．
②若在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中滿足CM=CN，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)BN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）連接AN，可證明△OAN≌△OBN，可得BN=AN，根據(jù)RT△中AC²+CN²=AN²和BN+CN=BC，即可解題；
（2）①結(jié)論為AM²+BN²=CN²+CM²，延長NO到E，使EO=NO，連結(jié)AE、EM、MN，可以證明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根據(jù)RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可驗(yàn)證結(jié)論；
 ②根據(jù)CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，將AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的長，即可解題．

解答：解：（1）連接AN，如圖①，
∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=

102-62

=8，
在△OAN和△OBN中，

OA=OB ∠BON=∠AON ON=ON

，
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
設(shè)BN=x，則CN=8-x，
∵AC²+CN²=AN²，
∴═

25

4

；
（2）①AM²+BN²=CN²+CM²，
證明：延長NO到E，使EO=NO，連結(jié)AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，

OB=OA ∠NOB=∠EOA ON=OE

，
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分線性質(zhì)可得：MN=EM，
∵AE²+AM²=EM²，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=CN²+CM²．
②∵①中已經(jīng)證明：AM²+BN²=CN²+CM²，
設(shè)CM=CN=x，則BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=

25

7

，
∴BN=

31

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證AE=BN是解題的關(guān)鍵．