Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在正方形ABCD的內(nèi)部，延長AF交CD于點G．
（1）猜想并證明線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系；
（2）若將圖1中的正方形改成矩形，其它條件不變，如圖2，那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？請證明你的結(jié)論；
（3）若將圖1中的正方形改成平行四邊形，其它條件不變，如圖3，那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否會改變？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)；
（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)；
（3）判定△ECG和△EFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等性質(zhì)即可證明．

解答 解：（1）FG=CG，理由如下：
∵E是BC的中點
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同樣，在折疊中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（2）不會改變．
證明：連接EG

∵E是BC的中點
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同樣，在折疊中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（3）不會改變．
證明：連接EG、FC

∵E是BC的中點
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF，∠B=∠AFE
∴EF=EC
∴∠EFC=∠ECF
∵矩形ABCD改為平行四邊形
∴∠B=∠D
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D
∴∠ECD=∠EFG
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF
∴∠GFC=∠GCF
∴FG=CG
即（1）中的結(jié)論仍然成立．

點評 本題考查了學(xué)生對直角三角形全等的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)．