Question

如圖，在平面直角坐標系中，過A在拋物線上，過A作AB⊥軸于點B，AD⊥軸于點D，將矩形ABOD沿對角線BD折疊后得A的對應點為A′，A′B與OD交于點C，重疊部分(陰影)為△BDC．

 (1)求證：△BDC是等腰三角形;

 (2)如果A點的坐標是(1,)，求△BDE的面積;

 (3)在(2)的條件下，求直線BC的解析式，并判斷點A′是否落在已知的拋物線上?請說明理由．

Answer 1

(1)證明：在矩形ABOD中，AB∥OD，

       ∴∠ABD=∠CDB．

又由折疊知，  ∠ABD=∠CBD，

       ∴∠CDB=∠CBD．

       ∴ABDC是等腰三角形．

  (2)解：點A(1，m)在拋物線上，

      ∴．

      ∴

    在Rt△ABD中，，

    ∴∠ABD=  ∴∠DBC=  ∴∠OBC=.

       在Rt△OBC中,OC=OB?tan=，

       ∴

       ∴ 

(3)①設直線BC的解析式為，由B(1,0)，C(O,)．

     解得

∴直線BC的解析式為                

②過A′作AE⊥x軸，垂足為E，

在Rt△A′BE中，BA′=AB=，∠A′BE=，

所以

∴

∴.

當時，

∴點A′在已知的拋物線上