Question

如圖，拋物線l₁：y=x²平移后過(guò)點(diǎn)A（8，0）和原點(diǎn)得到拋物線l₂，l₂ 的頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，與原拋物線l₁相交于點(diǎn)D，直線AB交y軸于點(diǎn)E．

（1）求l₂的解析式并和陰影部分的面積S_陰影；

在l₂的對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△OEF的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是拋物線l₂上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAE相似？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 解：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x²+bx，

將點(diǎn)A（8，0）代入，

得：0=，

解得：b=，∴y=，

頂點(diǎn)B（4，3），

S_陰影=OC×CB=4×3=12；

存在，

∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于l₂的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴連接AE，OF，OF+EF=AE，

此時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，

∴F（4，3）；

（3）存在點(diǎn)P，使得以O(shè)、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAE相似，

設(shè)點(diǎn)P（t，）  （t≠0），則：OM=|t|，PM=||，

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，

把點(diǎn)A（8，0）和B（4，3）代入可得：

，

解得：，

∴y=，當(dāng)x=0時(shí)，y=6，

∴E（0，6），

①==時(shí)，=，

∴=或=，

解得：t=，或t=∴P（，）或P（，），

②==時(shí)，=，

∴=或=，

解得：t=4或t=12，∴P（4，3）或P（12，﹣9），

∴P₁（4，3），P₂（12，﹣9），P₃（，），P₄（，）

．