Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，動點P從A點出發(fā)，以每秒

2

個單位的速度沿AB向B點勻速運動，同時Q點從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC向C點勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，0＜t＜4．
（1）將線段PQ繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至PF，作QG∥AB交AC于G．
①如圖1，當(dāng)t=1時，求證：GQ=AP+GF；
②如圖2，當(dāng)2＜t＜4時，則線段：GQ、AP、GF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；
（2）若以PQ為直徑的圓與AC相切，直接寫出t的值為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）①連接PG，過點P作PH⊥PG交QG于點H，可證得四邊形PBQG和四邊形APHG者是平行四邊形，可證得△PQH≌△PFG，得QH=FG，代入可得結(jié)論；
②同①可得GQ=HG+QH=AP+GF；
（2）設(shè)圓心為M，與AC相切于點I，交BC于另一點為J，連接MI、PJ、BG、PG，則可知PQ=2MI=BC=4，在Rt△PQJ中，PJ=4-t，QJ=4-2t，利用勾股定理可求得t．

解答：解：（1）①如圖1，連接PG，過點P作PH⊥PG交QG于點H，

當(dāng)t=1時，BQ=1，AP=

2

，
則BP=3

2

，CQ=CG=3，
∴BP=QG=3

2

，
∴四邊形PBQG為平行四邊形，同理可知四邊形APHG也是平行四邊形，
又由旋轉(zhuǎn)可知PQ=PF，
在△PQH和△PFG中，

PH=PG ∠QPH=∠GPF PQ=PF

，
∴△PQH≌△PFG（SAS），
∴QH=FG，
∴GQ=HG+QH=AP+GF；
②如圖2，連接PG，過點P作PH⊥PG交QG于點H，

同①可證明四邊形PBQG和四邊形APHG都是平行四邊形，
同理可證△PQH≌△PFG（SAS），
∴QH=FG，
∴AP=HG=HQ+QG=GF+GQ；
（2）如圖3，設(shè)圓心為M，與AC相切于點I，交BC于另一點為J，
連接MI、PJ、BG、PG，

則可知PQ=2MI=BC=4，在Rt△PQJ中，
PJ=4-t，QJ=4-2t，則（4-t）²+（4-2t）²=4²，解得t=

4

5

或4，
又∵0＜t＜4，
∴t=

4

5

，
故答案為：

4

5

．

點評：本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，在（1）通過作輔助線，構(gòu)造三角形全等并利用線段的相等進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在（2）中作出與AC相切的圓后找到相應(yīng)的線段，用t表示出其長，化動為靜是這類問題的常用思路，注意t值的范圍．