Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（6，0）、（0，4），點P是線段BC上的動點，當△OPA是等腰三角形時，則P點的坐標是（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90°，分三種情況：①當PO=PA時；②當AP=AO=6時；③當OP=OA=6時；分別求出PC的長，即可得出結果．

解答 解：∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90°，
分三種情況：如圖所示：
①當PO=PA時，P在OA的垂直平分線上，P是BC的中點，PC=3，
∴點P的坐標為（3，4）；
②當AP=AO=6時，BP=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PC=6-2$\sqrt{5}$，
∴P（6-2$\sqrt{5}$，4）；
③當OP=OA=6時，PC=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴P（2$\sqrt{5}$，4）．
綜上所述：點P的坐標為（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．
故答案為：（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關鍵．