Question

13．在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=15°．
（2）如圖2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=20°．
（3）思考：通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？并給予證明．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形三線合一，所以∠DAE=30°，又因為AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°；
（2）同理，易證∠ADE=70°，所以∠DEC=20°；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
進(jìn)而得出∠BAD=2∠CDE．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°；

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD）；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE．
故答案為：15°；20°．

點評 本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．