Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖①，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)E．是否存在一點(diǎn)P，使線段PE的長(zhǎng)最大？若存在，求出PE長(zhǎng)的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖②，過點(diǎn)A作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F，連接DA、DB．四邊形OAFC沿射線CB方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

∴，

解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x²+4x﹣3，

由y=﹣x²+4x﹣3=﹣（x﹣2）²+1，可知：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，1）．

（2）存在；

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設(shè)P（x，﹣x²+4x﹣3），則F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x²+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x²+3x=﹣（m﹣）²+，

∴當(dāng)x=時(shí)，PF有最大值為．

∴存在一點(diǎn)P，使線段PE的長(zhǎng)最大，最大值為．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線AD的解析式為：y=x﹣1；

直線BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，∴F（1，﹣2），∴AF=2．

①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如答圖1﹣1所示．

此時(shí)四邊形AFF′A′為平行四邊形．

設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K，則AK=AA′=t．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×t=t；

②當(dāng)＜t≤2時(shí)，如答圖1﹣2所示．

設(shè)O′C′與AD交于點(diǎn)P，A′F′與BD交于點(diǎn)Q，

則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．

∴S=S_{▱PC′F′A′}﹣S_△A′DQ=2×1﹣（t﹣）²=﹣t²+t+1；

③當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如答圖1﹣3所示．

設(shè)O′C′與BD交于點(diǎn)Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．

∵BC=3，CC′=t，∴BC′=3﹣t．

∴S=S_△BC′Q=（3﹣t）²=t²﹣3t+9．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

S=