Question

17．如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點H是AB延長線上一點，連結DH，交BC于M，分別過A點作AN⊥DH，垂足為點N．
（1）證明：△AND∽△DMC；
（2）若∠H=30°，求NH的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是邊長為4的正方形，于是得到∠ADC=∠C=90°，根據余角的性質得到∠NAD=∠CDM，∠AND=∠C，于是得到結論；
（2）根據∠DAH=90°，∠H=30°，得到DH=2AD=8，由于∠AND=90°，∠ADN=60°，推出∠DAN=30°，于是得到DN=$\frac{1}{2}$AD=2，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AN⊥DH，
∴∠AND=90°，
∴∠NAD+∠ADN=∠ADN+∠CDN=90°，
∴∠NAD=∠CDM，∠AND=∠C，
∴△AND∽△DMC；

（2）解：∵∠DAH=90°，∠H=30°，
∴DH=2AD=8，
∵∠AND=90°，∠ADN=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴NH=DH-DN=6．

點評 本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．