Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運(yùn)動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當(dāng)AD＝2時，EF與半圓相切；④若點F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，線段EF掃過的面積是．其中正確結(jié)論的序號是 ．

 

 

Answer 1

①③⑤.

【解析】

試題分析：①如圖，連接CD，

∵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD.

又∵DF⊥DE，∴.∴CD=CF. ∴CE＝CF. 結(jié)論①正確.

②∵由①知，EF＝2CD，∴當(dāng)線段EF最小時，線段CD也最小.

根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)CD⊥AD時線段CD最小.

∵AB是半圓O 的直徑，∴∠ACB＝90°.

∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.

當(dāng)CD⊥AD時，，

∴線段EF的最小值為. 結(jié)論②錯誤.

③如圖，連接CD，CO，

∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°. ∴△AOB是等邊三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.

∴當(dāng)AD＝2時，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.

∵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.

∴EF與半圓相切. 結(jié)論③正確.

④若點F恰好落在BC上，則點D，F(xiàn)重合于點B，AD=AB=8. 結(jié)論④錯誤.

⑤當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，為. 結(jié)論⑤正確.

綜上所述，結(jié)論正確的是①③⑤.

考點：1.單動點和軸對稱問題；2. 軸對稱的性質(zhì)；3. 垂直線段的性質(zhì)；4.圓周角定理；5.含30度角直角三角形的性質(zhì)；6. 等邊三角形的性質(zhì)；7.切線的判定.